функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См.
Алгебраическое уравнение)
. А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,
называются рациональными, а прочие А. ф. - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,
Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например,
функция у =
f (
х), удовлетворяющая уравнению:
y5 + 3
ух4 +
x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций (См.
Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная
xα (если α
- иррациональное число), показательная
ах, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См.
Аналитические функции) (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См.
Алгебраическая геометрия)
. Самая общая А. ф. многих переменных
u =
f(
x,
у,
z, ...) определяется как
функция, удовлетворяющая уравнению вида:
Ðî(õ, ó, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + ... +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1)
где Р0, Р1, ..., Pn - какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P0 = const ≠ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.
При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...
Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948.